Bab III

UKURAN NILAI PUSAT

Suatu kumpulan data biasanya mempunyai kecenderungan untuk memusat pada nialai tertentu. Nilai tertentu tersebut berupa nilai tunggal atau nilai tendensi pusat yang diangkat dengan Nilai Pusat.
UKURAN-UKURAN STATISTIK
1. Ukuran Tendensi Sentral (Central tendency measurement):
– Rata-rata (mean)
– Nilai tengah (median)
– Modus

2. Ukuran Lokasi (Location measurement):
– Persentil (Percentiles)
– Kuartil (Quartiles)
– Desil (Deciles)
UKURAN-UKURAN STATISTIK
3. Ukuran Dispersi/Keragaman (Variability measurement):
– Jarak (Range)
– Ragam/Varian (Variance)
– Simpangan Baku (Standard deviation)
– Rata-rata deviasi (Mean deviation)
1. RATA – RATA ( MEAN)
Adalah suatu nilai rata-rata dari semua nilai data observasi. Nilai rata-rata data observasi di beri simbul u (miyu)
Ada 2 macam Mean :
a. Rata – rata data observasi tidak berkelompok
Merupakan nilai yang diperoleh dari penjumlahan semua data observasi dibagi dengan banyaknya data.
u = X
N
u = Rata-rata data observasi
= Jumkah
X = nilai data obervasi
N = banyaknya data observasi
Contoh :
Berikut ini adalah skor tes prestasi 10 tenaga sales PT. Probo :
70 56 66 94 48 82 80 70 76 50
Rata – rata skor tes tersebut adalah :
N = 10
X= 78+56+66+…..+50= 700
maka u = X
N
= 700
10
= 70


b. Rata – rata data observasi berkelompok
Merupakan jumlah hasil kali antara frekuensi dengan nilai tengah semua kelas jumlah frekuensi.
u = FM
F
u = rata-rata data observasi
= Jumlah
F = Frekuensi
M = nilai tengah
Contoh :
Berikut ini data observasi mengenai laba setiap hari yang diperoleh PT Probo selama 30 hari pada bulan april 2006
Tabel 4.1.
Laba Frekuensi (f) Nilai Tengah (M) f.M
40 - 49 4 44.5 178
50 – 59 6 54.5 327
60 – 69 10 64.5 645
70 – 79 4 74.5 298
80 – 89 4 84.5 338
90 – 99 2 94.5 189
f : 30
fM : 1975


Rata-rata laba setiap hari :
fM = 1975
f = 30
u = FM
F
= 1975 = 65. 83
30
2. MEDIAN
Adalah nilai data observasi yang berada di tengah-tengah urutan data tersebut, atau data observasi yang membagi data observasi yang sudah diurutkan menjadi 2 bagian yang sama banyak.
Nilai median data observasi diberi symbol Md
Ada 2 macam Median :
a. Median data observasi tidak berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
o Urutkan data observasi dari kecil ke yang besar
o Tentukan letak median dengan rumus
N + 1
2
o Tentukan nilai median
Contoh :
Data Ganjil
Berikut ini adalah skor tes prestasi 9 karyawan PT. Probo :
78 56 66 94 48 82 80 70 76
Median skor tes 9 karyawan tersebut ditentukan dengan cara :
No urut 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nilai 48 56 66 70 76 78 80 82 94
Letak Median : 9 + 1
2
: 5
jadi letak median pada urutan data ke 5
Data Genap
Berikut ini adalah skor tes prestasi 10 karyawan PT probo
78 56 66 94 48 82 80 70 76 96
Median skor tes 10 karyawan tersebut ditentukan dengan 2 cara :
No urut 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai 48 56 6 70 76 78 80 82 94 96
Letak median : 10 + 1
2
: 5.5
Jadi letak median pada urutan data 5.5 atau terletak di antara no urut 5 dan 6 kemudian di bagi 2
Median (Md) = 76 + 78 = 77
2
b. Median data observasi berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah :
o Tentukan kelas median dengan rumus
Kelas Median : N
2
o Tentukan median dengan rumus
N - CF
2
Md : BMd + fMd X i
Md : Median
BMd : Tepi kelas bawah dari kelas yang mengandung median
N : Banyaknya data observasi
Cf : Frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas median
FMd : Frekuensi kelas median
i : Interval
Contoh berikut ini data mengenai laba PT Probo bulan April 2006
LABA FREKUENSI (f) TEPI KELAS FREK. KUM

40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
4
6
10
4
4
2 39.5
49.5
59.5
69.5
79.5
89.5
99.5
4
10
20
24
28
30
Langkah untuk menentukan median :
o Letak median = N = 30 = 15
2 2
Jadi kelas median adalah kelas yang ditempati oleh frekuensi kumulatif 15
Frekuensi kumulatif berada di kelas no 3
o Menentukan Median dengan rumus
N - CF
2
Md : BMd + fMd X i


30 - 10
2
Md : BMd + 10 X 10

3. MODUS (Mo)
a. Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul (nilai dengan frekuensi muncul terbesar)
b. Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal
c. Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut multimodal
Ada 2 macam modus :
a. Modus data observasi tidak berkelompok
Contoh :
o Berikut ini skor tes prestasi PT Probo :
70 56 66 70 48 82 80 70 76 70
frekuensi terbesar adalah 70 yaitu ada 3 orang
jadi modus skor prestasi karyawan PT. Probo : 70
o Berikut adalah data sampel tentang nilai sewa bulanan untuk satu kamar apartemen ($). Berikut adalah data yang berasal dari 70 apartemen di suatu kota tertentu:











 Rata-rata Hitung (Mean)


 Median
Karena banyaknya data genap (70), maka median merupakan rata-rata nilai ke-35 dan ke-36, yaitu
(475 + 475)/2 = 475
 Modus = 450 (muncul sebanyak 7 kali)

b. Modus data observasi berkelopok, dapat ditentukan sebagai berikut :
o Tentukan kelas modus yaitu yang mempunyai frekuensi terbesar.
o Tentukan modus dengan rumus.


Mo : Modus
BMo : Tepi kelas bawah dari kelas yang mengandung modus
d 1 : Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
d 2 : selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
i : Interval kelas
contoh :Berikut ini data mengenai laba PT. Probo bulan April 2006
Tabel 4.3
LABA FREKUENSI (f) TEPI KELAS

40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 - 79
80 – 89
90 - 99
4
6
10
4
4
2 39.5
49.5
59.5
69.5
79.5
89.5
99.5



= 63.5
Dari contoh Bengkel Hudson Auto
Biaya ($) Frekuensi (fi) xi Frekuensi kumulatif Lower Boundary fixi
50 – 59 2 54,5 2 49,5 109,0
60 – 69 13 64,5 15 59,5 838,5
70 – 79 16 74,5 31 69,5 1192,0
80 – 89 7 84,5 38 79,5 591,5
90 – 99 7 94,5 45 89,5 661,5
100 – 109 5 104,5 50 99,5 522,5
Total 50 3915,0

DATA BERKELOMPOK (L)
 Rata-rata Hitung (Mean)

 Median

 Modus

 Rata-rata Hitung (Mean)
– Kelebihan:
 Melibatkan seluruh observasi
 Tidak peka dengan adanya penambahan data
 Contoh dari data :
3 4 5 9 11 Rata-rata = 6,4
3 4 5 9 10 11 Rata-rata = 7

– Kekurangan:
 Sangat peka dengan adanya nilai ekstrim (outlier)
 Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I : 3 4 5 9 11 Rata-rata = 6,4
Kel. II : 3 4 5 9 30 Rata-rata = 10,2

 Median
– Kelebihan:
 Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim
 Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I : 3 4 5 13 14
Kel. II : 3 4 5 13 30
Median I = Median II = 5
– Kekurangan:
 Sangat peka dengan adanya penambahan data (sangat dipengaruhi oleh banyaknya data)
 Contoh: Jika ada satu observasi baru masuk ke dalam kelompok I, maka median = 9
 Modus
– Kelebihan:
 Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim
 Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I : 3 3 4 7 8 9
Kel. II : 3 3 4 7 8 35
Modus I = Modus II = 3
– Kekurangan:
 Peka terhadap penambahan jumlah data
 Cohtoh: Pada data
3 3 4 7 8 9 Modus = 3
3 3 4 7 7 7 8 9 Modus = 7

1. Persentil (Percentiles)
– Persentil merupakan suatu ukuran yang membagi sekumpulan data menjadi 100 bagian sama besar.
– Persentil ke-p dari sekumpulan data merupakan nilai data sehingga paling tidak p persen obyek berada pada nilai tersebut atau lebih kecil dan paling tidak (100 - p) percent obyek berada pada nilai tersebut atau lebih besar.
2. Persentil (Percentiles) (Lanjutan)
– Cara pencarian persentil
 Urutkan dari dari yang terkecil ke terbesar.
 Cari nilai i yang menunjukkan posisi persentil ke-p dengan rumus:
i = (p/100)n
 Jika i bukan bilangan bulat, maka bulatkan ke atas. Persentil ke-p merupakan nilai data pada posisi ke-i.
 Jika i merupakan bilangan bulat, maka persentil ke-p merupakan rata-rata nilai pada posisi ke-i dan ke-(i+1).
Berdasarkan kasus sewa kamar apartemen
 Persentil ke-90
– Yaitu posisi data ke-(p/100)n = (90/100)70 = 63
– Karena i=63 merupakan bilangan bulat, maka persentil ke-90 merupakan rata-rata nilai data ke 63 dan 64
– Persentil ke-90 = (580 + 590)/2 = 585


425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615

2. Kuartil (Quartiles)
– Kuartil merupakan suatu ukuran yang membagi data menjadi 4 (empat) bagian sama besar
– Kuartil merupakan bentuk khusus dari persentil, dimana
 Kuartil pertama = Percentile ke-25
 Kuartil kedua = Percentile ke-50 = Median
 Kuartil ketiga = Percentile ke-75
Berdasarkan kasus sewa kamar apartemen
 Kuartil ke-3
– Kuartil ke-3 = Percentile ke-75
– Yaitu data ke-(p/100)n = (75/100)70 = 52.5 = 53
– Jadi kuartil ke-3 = 525
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615

3. Desil (Deciles)
– Merupakan suatu ukuran yang membagi sekumpulan data menjadi 10 bagian sama besar
– Merupakan bentuk khusus dari persentil, dimana:
 Desil ke-1 = persentil ke-10
 Desil ke-2 = persentil ke-20
 Desil ke-3 = persentil ke-30
 …
 Desil ke-9 = persentil ke-90
Berdasarkan kasus sewa kamar apartemen
 Desil ke-9
– Desil ke-9 = Percentile ke-90 = 585
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615